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南部加法规则:希格斯粒子、NJL 模型、超流体氦与BCS超导

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南部加法规则:希格斯粒子、NJL 模型、超流体氦与BCS超导  在上文中我们花了一些篇幅複习关于超导体与希格斯物理的一些历史,阐述了粒子物理学家南部阳一郎为何投入超导体问题的研究,并如何利用他在过程中所掌握的精髓反馈到核物理的研究,以超导体 BCS 模型为原型,提出 Nambu-Jona-Lasinio (NJL)模型。

并且在结尾,我们揭示了一些事实:在 BCS 与 NJL 模型中,各有一个「南部-戈德斯通玻色子」、一个基本的费米子、和一个「希格斯玻色子」。在 BCS 模型中,基本的费米子就是电子,而两玻色子就是相异频道的安德森-博戈柳博夫粒子。在 NJL 模型中,南部-戈德斯通玻色子是 介子、基本费米子是核子、而希格斯玻色子是  介子。而这三者的质量比,则呈现 0 : 1 : 2。或者另一个写法是——

$$0^2+2^2=(2\cdot 1)^2$$

这就是最简化版本的南部加法规则 [1](Nambu Sum Rule)。现在看起来,这个写法其实有点牵强,但到本文末,笔者希望可以说服大家这个写法是比 0 : 1 : 2 要自然一点。

这样的质量比例很难让人觉得是巧合。从纯电子建构的 BCS 模型出发,两个玻色子基本上是古柏对(Cooper pair)凝聚态不同频道的量子波动。从纯核子建构的 NJL 模型看,这两个玻色子的物理效果可视为某些费米子交互作用的加总结果。南部曾经尝试以超对称(supersymmetry)的角度来看待这个问题 [2]。

但或许更实际一点的问题是,除了这两个模型,是否还有其他类似的模型具有这样的特性呢?

南部找到了超流体氦。这边的氦,指得是 3He。不同于玻色子 4He,3He 是费米子,但在低温状态,这些氦原子们也能形成古柏对而进入超流体态。然而有一个决定性的差异,使得 3He 不仅仅是电中性的 BCS 模型 —— 那就是古柏对的配对方式。

南部加法规则:希格斯粒子、NJL 模型、超流体氦与BCS超导

3He 的原子结构图。photo credit: wikipedia

在最原始的 BCS 模型中,一个具有动量 k 的电子会和一个具有动量 -k 但具备相异自旋态的电子配对,即若其中一人自旋为上,另一人自旋便为下,使得整个古柏对的自旋 s 为 0(业内的术语为自旋单重态,spin singlet。),同时两电子之间也没有相对的角动量,l=0,形成 s 波配对。(就是高中化学中没有角动量的 s 轨域的 s。)

但量子力学告诉我们,这不是唯一被允许的状况——当两个自旋为 1/2 的物件被放在一起时,除了自旋 0 ,还可以组合出自旋 1 的状态。

费米子超流氦中的原子,就是以自旋 s =1 (自旋三重态,spin triplet)的方式配对,并且两原子间具有角动量 l = 1,形成 p 波配对。

这样不同的配对机制,使得费米超流氦相较于 BCS 超导体複杂许多。让我们用简单的乘法来表现这个複杂的程度。除了角动量加法,量子力学(或者说群论)也告诉我们,具有角动量 J 的量子态,拥有 2J+1 个自由度,约略而言可以被解释成角动量的 z 分量可以从 -J, -J+1,…, 一路到 J。(是的,又是高中化学。)在 BCS 问题中,两个角动量 S 跟 L 都是 0,所以只有 1 个複数的自由度,或者 2 个实数的自由度,对应到前述的两个玻色子。在费米超流氦中,S 和 L 都是 1,因而有三乘三一共 9 个複数的自由度,或 18 个实数自由度。也就是说若真的进行计算,我们会得到 18 个玻色子 [3]。

乍看之下很複杂,但其实这 18 个玻色子可以透过它们所带的总角动量  和他们在电子电洞转换(particle-hole transformation)下获得的正负号来分堆。也就是每个玻色子都有一个量子数 ,其中 J = 0, 1, 2。

让我们针对超流氦的 B 相(B phase),其中基态的能隙是 。接着我们打开 [3],列出每个  玻色子的质量:

$$m_{0+}=\Delta,~~~m_{0-}=0$$

$$m_{1+}=0,~~~m_{1-}=2\Delta$$

$$m_{2+}=\Delta\sqrt{8/5},~~~m_{2-}=\Delta\sqrt{12/5}$$

我们发现虽然 0 : 1 : 2 的规律不再成立,但前面那个看似人为的写法却可以自然的被推广成:

$$m^2_{J+}+m^2_{J-}=(2m_F)^2$$

这就是文献中较被人所知的南部加法规则。

加法规则显然不是南部最有影响力的成就,但时至今日,仍有物理学家尝试利用它去探索更多物理。譬如,有些人尝试将它套用在标準模型中,去计算 LHC 所探测到的希格斯粒子的「伙伴」[4, 5]。  也有团队 [6] 在複习了南部原来的推导后指出,这个等式并不是绝对精确的,而是第一阶的近似结果,他们在进行更複杂的计算后发现,当考虑更高阶的修正,在 3He 中只有和基态具有相同角动量的玻色子们会符合加法规则。

南部其人已远。但笔者相信,他带给我们的物理,以及他融汇不同物理学门间的直观和点子的为学风格,都历久弥新,影响每个世代的科学家们。

南部加法规则:希格斯粒子、NJL 模型、超流体氦与BCS超导

在 NJL 模型中,最低阶的玻色子传播子(propagator)其实是透过加总这些费米子的费曼图得到的。photo credit: 作者自绘。


参考文献:

[1] G. Shchedrin, and D. M. Lee, Phys. Sci. 91, 013006 (2016).[2] Y. Nambu, Physica D 15, 147 (1985).[3] D. Vollhardt, and P. Woelfle, The Superfluid Phase of Helium 3 (1990).[4] G. E. Volovik, and M. A. Zubkov, Phys. Rev. D 87, 075016 (2013).[5] G. E. Volovik, and M. A. Zubkov, J. Low Temp. Phys. 175, 486 (2014).[6] J. A. Saul, and T. Mizushima, Phys. Rev. B 95, 094515 (2017).
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